 |
- ⒶⒸМатвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. [Pdf-Fax-14.2M] Учебник для механико-математических специальностей университетов. Издание 4-е, исправленное и дополненное. Автор: Николай Михайлович Матвеев. Обложка: В.М. Батура.
(Минск: Издательство «Вышэйшая школа», 1974)
Скан: ???, AAW, обработка, формат Pdf-Fax: fire_varan, доработка: звездочет, 2023
- ОГЛАВЛЕНИЕ:
Предисловие (13).
Введение (15).
Глава первая. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ. УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ.
§1. Основные понятия и определения (23).
1. Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной (23).
2. Решение уравнения (24).
3. Неявное и параметрическое задания решения (25).
4. Геометрическое истолкование (26).
5. Задача Коши (31).
6. Достаточное условие существования решения задачи Коши (35).
7. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши (36).
8. Общее решение (39).
9. Общий интеграл. Общее решение в параметрической форме (42).
10. Частное решение (43).
11. Особое решение (44).
12. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение по дифференциальному уравнению (46).
13. Отсутствие особых решений у уравнения первого порядка с правой частью, рациональной относительно у (47).
14. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение (49).
15. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение, в процессе построения общего решения (общего интеграла) (52).
16. Понятие об интеграле дифференциального уравнения. Зависимость любых двух интегралов одного и того же уравнения (53).
17. Связь между обыкновенным дифференциальным уравнением и уравнением с частными производными (60).
18. Замечание об интегрируемости в квадратурах (61).
§2. Неполные уравнения (63).
19. Уравнение, не содержащее искомой функции (63).
20. Уравнение, не содержащее независимой переменной (65).
§3. Уравнение с разделяющимися переменными (70).
21. Построение общего интеграла (70).
22. Особые решения (72).
23. Примеры (73).
§4. Однородное уравнение (75).
24. Построение общего интеграла (75).
25. Особые решения (77).
26. Пример (77).
27. Геометрическое свойство интегральных кривых однородного уравнения (78).
28. Простейшее уравнение, приводящееся к однородному (81).
§5. Обобщенное однородное уравнение (82).
29. Построение общего интеграла. Особые решения (82).
30. Пример (84).
§6. Линейное уравнение (85).
31. Понятие о линейном уравнении (85).
32. Существование и единственность решения задачи Коши. Общие свойства линейного уравнения (85).
33. Построение общего решения однородного линейного уравнения (88).
34. Свойства решений однородного линейного уравнения (90).
35. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения (91).
36. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) (92).
37. Примеры (96).
38. Геометрическое свойство интегральных кривых линейного уравнения (97).
§7. Уравнение Бернулли (100).
39. Построение общего решения (100).
40. Особое решение (101).
§8. Уравнение Дарбу (102).
41. Построение общего интеграла. Особые решения (102).
42. Пример (103).
§9. Уравнение Якоби (103).
43. Построение общего интеграла (103).
44. Примеры (106).
§10. Уравнение Риккати (108).
45. Существование и единственность решения задачи Коши. Общие свойства уравнения Риккати (108).
46. Приведение уравнения Риккати к каноническому виду (110).
47. Простейшие случаи интегрируемости в квадратурах (112).
48. Построение общего решения в случае, когда известно одно частное решение (113).
49. Структура общего решения (115).
50. Построение общего решения в случае, когда известны два или три частных решения (116).
51. Специальное уравнение Риккати (117).
§11. Уравнение в полных дифференциалах (118).
52. Понятие об уравнении в полных дифференциалах (118).
53. Признак уравнения в полных дифференциалах. Построение общего интеграла (120).
54. Решение задачи Коши (123).
§12. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя (124).
55. Понятие об интегрирующем множителе (124).
56. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от x (125).
57. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от y (127).
58. Случай интегрирующего множителя вида µ=µ [w(x, y)] (127).
59. Интегрирующий множитель и особые решения (128).
60. Интегрирующий множитель уравнения с разделяющимися переменными (129).
61. Интегрирующий множитель однородного уравнения (130).
§13. Интегрирующий множитель. Общая теория (131).
62. Теорема о существовании интегрирующего множителя (131).
63. Теорема о неединственности интегрирующего множителя (133).
64. Теорема об общем виде интегрирующего множителя и ее следствие (133).
65. Один общий способ нахождения интегрирующего множителя (135).
Глава вторая. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ. УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ.
§14. Основные понятия и определения (137).
66. Общий случай уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной (137).
67. Примеры (141).
68. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение, по дифференциальному уравнению (146).
69. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение (149).
§15. Неполные уравнения (150).
70. Уравнение, содержащее только производную (150).
71. Уравнение, не содержащее искомой функции (151).
72. Уравнение, не содержащее независимой переменной (155).
73. Обобщенное однородное уравнение (157).
§16. Общий метод введения параметра (158).
74. Приведение уравнения, не разрешенного относительно производной, к уравнению, разрешенному относительно производной. Общий случай (158).
75. Случай, когда уравнение разрешимо относительно искомой функции (159).
76. Случай, когда уравнение разрешимо относительно независимой переменной (160).
77. Уравнение Лагранжа (161).
78. Уравнение Клеро (164).
§17. Задача о траекториях (167).
79. Задача о траекториях на плоскости в случае декартовых координат (167).
80. Примеры (169).
81. Случай полярных координат (170).
Глава третья. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ n-го ПОРЯДКА.
§18. Основные понятия и определения (174).
82. Предварительные замечания (174).
83. Геометрическое истолкование (175).
84. Механическое истолкование уравнения второго порядка (175).
85. Задача Коши (177).
86. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши (179).
87. Понятие о краевой (граничной) задаче (181).
88. Общее решение (184).
89. Общий интеграл (185).
90. Общее решение в параметрической форме (186).
91. Частное решение (186).
92. Особое решение (186).
93. Промежуточные интегралы. Первые интегралы (187).
94. Замечание об уравнении n-го порядка, не разрешенном относительно старшей производной (188).
§19. Уравнения, интегрируемые в квадратурах, и уравнения, допускающие понижение порядка (189).
95. Уравнение, содержащее только независимую переменную и производную порядка n (189).
96. Уравнение, не содержащее искомой функции, и уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных первых производных (197).
97. Уравнение, не содержащее независимой переменной (200).
98. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных (203).
99. Обобщенное однородное уравнение (204).
100. Уравнение, левая часть которого есть точная производная (207).
Глава четвертая. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ.
§20. Нормальные системы дифференциальных уравнений (210).
101. Предварительные замечания (210).
102. Геометрическое истолкование нормальной системы (213).
103. Механическое истолкование нормальной системы (213).
104. Задача Коши (216).
105. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши (218).
106. Общее решение (219).
107. Частное решение (221).
108. Особое решение (222).
109. Понятие об интеграле нормальной системы. Первые интегралы. Общий интеграл. Число независимых интегралов (222).
110. Связь между нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнением с частными производными (234).
111. Понижение порядка системы при помощи первых интегралов (235).
112. Приведение уравнения n-го порядка к системе и уравнений первого порядка и обратная задача (237).
113. Один общий способ интегрирования нормальной системы двух уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Коши - Римана (242).
114. Понятие о системе уравнений высших порядков (244).
115. Построение всего множества нормальных систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную траекторию (246).
§21. Системы дифференциальных уравнений в симметрической форме (249).
116. Понятие о системе обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме. Приведение нормальной системы к системе в симметрической форме (249).
117. Интегралы, первые интегралы и общий интеграл системы дифференциальных уравнений в симметрической форме (251).
Глава пятая. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ.
§22. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (теорема Пикара) (259).
118. Предварительные замечания (259).
119. Формулировка теоремы Пикара для нормальной системы n уравнений (260).
120. Доказательство теоремы Пикара для нормальной системы двух уравнений (263).
121. Замечание о выборе нулевого приближения (277).
122. Случай одностороннего интервала изменения независимой переменной (277).
123. Случай области, не ограниченной по искомым функциям (277).
124. Случай области, не ограниченной по всем переменным (278).
125. О продолжении решения, определяемого теоремой Пикара (283).
126. Теорема Пикара для линейной системы дифференциальных уравнений (286).
127. О решении однородной линейной системы с нулевыми начальными значениями искомых функций (290).
128. Теорема Пикара для уравнения n-го порядка (292).
129. Теорема Пикара для линейного уравнения n-го порядка (294).
130. О решении однородного линейного уравнения n-го порядка с нулевыми начальными значениями искомой функции и ее производных (295).
§23. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости решения как функции от параметров и начальных данных. Понятие об устойчивости решения в смысле Ляпунова (296).
131. Теорема о непрерывной зависимости решения нормальной системы от параметров (296).
132. Теорема о непрерывной зависимости решения нормальной системы от начальных данных (305).
133. Понятие об устойчивости решения (движения) в смысле Ляпунова (309).
134. Теорема о дифференцируемости решения по начальным данным (317).
135. Обобщения (331).
§24. Теорема существования общего решения (332).
136. Теорема существования общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений (332).
137. Замечания (337).
138. Доказательство существования n независимых интегралов нормальной системы и уравнений (337).
§25. Особые точки (339).
139. Особые точки уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной (339).
140. Особые точки нормальной системы дифференциальных уравнений. Точки равновесия (покоя) (342).
141. Поведение интегральных кривых уравнения с дробно-линейной однородной правой частью в окрестности особой точки (346).
142. Один физический пример (363).
143. Понятие о проблеме центра и фокуса (366).
§26. Теорема существования и единственности голоморфного решения задачи Коши (теорема Коши) (370).
144. Понятие о голоморфном решении (370).
145. Понятие о мажоранте (371).
146. Формулировка теоремы Коши для нормальной системы n уравнений (374).
147. Доказательство теоремы Коши для нормальной системы двух уравнений (375).
148. Теорема Коши для линейной системы (385).
149. Примеры существования голоморфных решений в случае невыполнения условия теоремы Коши (392).
150. Теорема Коши для уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной (394).
151. Теорема Коши для линейного уравнения n-го порядка (396).
152. Теорема о голоморфности решения относительно параметра (398).
§27. Теорема существования решения задачи Коши (теорема Пеано) (399).
153. Теорема Арцеля (399).
154. Теорема существования решения дифференциального уравнения с непрерывной правой частью (теорема Пеано) (402).
§28. Теорема Каратеодори (410).
155. Предварительные замечания (410).
156. Формулировка и доказательство теоремы Каратеодори (415).
Глава шестая. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ n-го ПОРЯДКА.
§29. Общие свойства линейного уравнения (424).
157. Предварительные замечания (424).
158. Инвариантность линейного уравнения относительно любого преобразования независимой переменной и относительно, любого преобразования искомой функции (426).
§30. Однородное линейное уравнение n-го порядка (429).
159. Свойства решений (429).
160. Понятие о линейной независимости функций (433).
161. Необходимое условие линейной зависимости n функций (436).
162. Необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородного линейного уравнения n-го порядка (438).
163. Формула Остроградского - Лиувилля (440).
164. Понятие о фундаментальной системе решений (441).
165. Доказательство существования фундаментальной системы решений (442).
166. Построение общего решения (443).
167. Число линейно независимых решений однородного линейного уравнения n-го порядка (447).
168. Построение однородного линейного уравнения, имеющего заданную фундаментальную систему решений (447).
169. Понижение порядка однородного линейного уравнения при помощи линейно независимых частных решений (450).
§31. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка (453).
170. Структура общего решения неоднородного уравнения (453).
171. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) (455).
172. Метод Коши (459).
Глава седьмая. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ п-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
§32. Однородное уравнение (463).
173. Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородного линейного уравнения в случае различных корней характеристического уравнения (463).
174. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения (468).
175. Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (472).
§33. Неоднородное уравнение (481).
176. Предварительные замечания (481).
177. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов (481).
§34. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и колебательные явления (489).
178. Свободные колебания (489).
179. Вынужденные колебания (495).
§35. Операционный метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (497).
180. Некоторые сведения из операционного исчисления (497).
181. Операционный метод решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (509).
§36. Некоторые линейные уравнения n-го порядка, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами (513).
182. Приведение однородного линейного уравнения n-го порядка к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной (513).
183. Линейное уравнение Эйлера (515).
184. Уравнение Чебышева (519).
Глава восьмая. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
§37. Приведение к простейшим формам (521).
185. Приведение к уравнению, не содержащему члена с первой производной при помощи замены искомой функции (521).
186. Приведение к уравнению, не содержащему члена с первой производной, при помощи замены независимой переменной (525).
187. Приведение к самосопряженному виду (527).
§38. Понижение порядка (531).
188. Построение общего решения однородного линейного уравнения второго порядка в случае, когда известно одно частное решение (531).
189. Связь между однородным линейным уравнением второго порядка и уравнением Риккати (535).
§39. Интегрирование при помощи степенных рядов и обобщенных степенных рядов (536).
190. Представление решений однородного линейного уравнения второго порядка в окрестности обыкновенной точки в виде степенных рядов (536).
191. Представление решений в окрестности особой точки в виде обобщенных степенных рядов (545).
192. Уравнение Бесселя (555).
193. Гипергеометрическое дифференциальное уравнение (572).
§40. Колебательный характер решений однородных линейных уравнений второго порядка (581).
194. Колеблющиеся и неколеблющиеся решения (581).
195. Теорема Штурма (586).
196. Теорема сравнения (587).
Глава девятая. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§41. Однородные линейные системы (603).
197. Предварительные замечания (603).
198. Свойства решений однородной системы (606).
199. Понятие о линейной независимости систем функций (608).
200. Необходимое условие линейной зависимости n систем функций (610).
201. Необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородной линейной системы n уравнений (611).
202. Формула Остроградского - Лиувилля - Якоби (612).
203. Понятие о фундаментальной системе решений (613).
204. Теорема о существовании фундаментальной системы решений (614).
205. Построение общего решения (615).
206. Число линейно независимых решений однородной линейной системы n уравнений. Первые интегралы (616).
207. Понятие о сопряженной (присоединенной) системе (617).
208. Построение однородной линейной системы уравнений, имеющей заданную фундаментальную систему решений (620).
§42. Неоднородные линейные системы (621).
209. Структура общего решения неоднородной системы (621).
210. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) (622).
Глава десятая. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
§43. Метод Эйлера (624).
211. Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородной линейной системы в случае различных корней характеристического уравнения (624).
212. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения (632).
213. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости нулевого решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами (641).
214. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению в случае автономной системы (648).
215. Приведение однородной линейной системы к системе с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной (651).
216. Интегрирование неоднородной линейной системы с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (653).
§44. Другие методы интегрирования линейных систем с постоянными коэффициентами (653).
217. Интегрирование линейной системы с постоянными коэффициентами при помощи приведения ее к уравнению n-го порядка (метод исключения) (653).
218. Метод Даламбера (655).
219. Операционный метод решения задачи Коши для линейной системы с постоянными коэффициентами (657).
§45. Линейные системы с постоянными коэффициентами, содержащие производные выше первого порядка (660).
220. Метод исключения (660).
221. Метод Даламбера (660).
Глава одиннадцатая. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.
§46. Некоторые сведения из теории матриц (662).
222. Предварительные замечания (662).
223. Понятие о матрице (663).
224. Алгебраические операции над матрицами (666).
225. Характеристические числа матрицы. Элементарные делители матрицы (672).
226. Преобразование подобия. Приведение матрицы к каноническому виду (677).
227. Дифференцирование и интегрирование матриц (681).
228. Понятие о матричном степенном ряде (683).
§47. Запись и интегрирование однородной линейной системы дифференциальных уравнений в матричной форме (688).
229. Построение матричного уравнения, равносильного однородной линейной системе (688).
230. Два общих свойства матричного уравнения, соответствующего однородной линейной системе (691).
231. Основные свойства интегральной матрицы (692).
232. Случай Лаппо - Данилевского (694).
233. Сопряженное (присоединенное) матричное уравнение (695).
§48. Интегрирование однородной линейной системы с постоянными коэффициентами (697).
234. Структура фундаментальной системы решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Группы решений (697).
235. Приведение однородной линейной системы с постоянными коэффициентами к каноническому виду (702).
236. Вид фундаментальной системы решений однородной линейной системы с периодическими коэффициентами (710).
237. Понятие о приводимых системах (712).
§49. Интегрирование линейных систем матрично-векторным методом (714).
238. Матрично-векторная запись линейной системы и ее решение. Задача Коши (714).
239. Два общих свойства матрично-векторного уравнения, соответствующего линейной системе (715).
240. Основные свойства решений однородного матрично-векторного уравнения (716).
241. Линейно независимые решения и построение общего решения однородного матрично-векторного уравнения (717).
242. Формула Коши для неоднородной линейной системы (719).
Глава двенадцатая. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
§50. Однородное линейное уравнение (722).
243. Связь между однородным линейным уравнением с частными производными первого порядка и соответствующей ему системой обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме (722).
244. Построение общего решения однородного линейного уравнения (725).
245. Решение задачи Коши для однородного линейного уравнения (729).
§51. Неоднородное линейное уравнение (733).
246. Построение общего решения неоднородного линейного уравнения (733).
247. Решение задачи Коши для неоднородного линейного уравнения (736).
§52. Нелинейные уравнения (740).
248. Система двух уравнений с частными производными. Условия совместности (740).
249. Уравнение Пфаффа (742).
250. Полный интеграл нелинейного уравнения. Метод Лагранжа - Шарпи (744).
Литература (749).
Предметный указатель (758).
ИЗ ИЗДАНИЯ: Учебник для механико-математических факультетов университетов по курсу дифференциальных уравнений.
В книге даются основные понятия и определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, излагаются наиболее важные методы интегрирования, доказываются теоремы существования решений и исследуются свойства последних.
Может использоваться в педагогических институтах и технических вузах, особенно будет полезна студентам-заочникам и лицам, самостоятельно изучающим теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. |
 |
