 |
- ⒶⒸЯковлев Г.Н. (ред.) Алгебра и начала анализа. Часть 1. [Djv-80.0M] [Pdf-37.3M] Учебник для средних специальных учебных заведений. 3-е издание, переработанное. Авторы: Мечислав Игнатьевич Каченовский, Юрий Михайлович Колягин, Александр Дмитриевич Кутасов, Геннадий Лаврович Луканкин, Вачаган Арташесович Оганесян, Геннадий Николаевич Яковлев. Редактор: Геннадий Николаевич Яковлев.
(Москва: Издательство «Наука»: Главная редакция физико-математической литературы, 1987. - Серия «Математика для техникумов»)
Скан: AAW, обработка, формат Pdf: fire_varan, 2025
- ОГЛАВЛЕНИЕ:
Предисловие (9).
Глава 1. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (11).
§1. Множества и операции над ними (11).
1. Множество и его элементы. Подмножества (11). 2. Пересечение множеств (12). 3. Объединение множеств (13). 4. Вычитание множеств. Дополнение до множества (13).
Вопросы для контроля (14).
Упражнения 1.1-1.20 (14).
§2. Рациональные числа (16).
1. Натуральные и целые числа (16). 2. Рациональные числа (16). 3. Представление рациональных чисел десятичными дробями (17). 4. Рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби (19).
Вопросы для контроля (24).
Упражнения 1.21-1.32 (24).
§3. Действительные числа (25).
1. Множество действительных чисел (25). 2. Действия над действительными числами (26). 3. Десятичные приближения действительных чисел (27). 4. Координатная ось и числовая прямая (31).
Вопросы для контроля (33).
Упражнения 1.33-1.43 (33).
§4. Приближенные значения и погрешности приближений (34).
1. Приближенное значение величины. Абсолютная погрешность приближения. Граница абсолютной погрешности (34). 2. Относительная погрешность. Граница относительной погрешности (36). 3. Округление и погрешность округления (39).
Вопросы для контроля (41).
Упражнения 1.44-1.51 (42).
§5. Погрешности вычислений с приближенными значениями (42).
1. Погрешность суммы (42). 2. Погрешность разности (44). 3. Погрешность произведения (45). 4. Погрешность частного (47). 5. Погрешность степени и корня (50). 6. Вычисления с заданной точностью (51).
Вопросы для контроля (52).
Упражнения 1.52-1.60 (52).
§6. Практические приемы приближенных вычислений (52).
1. Запись чисел в стандартном виде (52). 2. Верные и сомнительные цифры в записи приближенного значения (53). 3. Сложение и вычитание приближенных значений (55). 4. Умножение и деление приближенных значений (57).
Вопросы для контроля (60).
Упражнения 1.61-1.72 (60).
Глава 2. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ (62).
§7. Высказывания и предложения, зависящие от переменной (62).
1. Высказывания (62). 2. Предложения, зависящие от переменной (63). 3. Знаки общности и существования (64).
Вопросы для контроля (65).
Упражнения 2.1-2.7 (66).
§8. Метод математической индукции (67).
1. Принцип и метод математической индукции (67). 2. Обобщение метода математической индукции (69).
Вопросы для контроля (70).
Упражнения 2.8-2.12 (70).
§9. Различные виды теорем и их взаимосвязь (70).
1. Взаимно обратные теоремы (70). 2. Взаимно противоположные теоремы (72). 3. Необходимые и достаточные условия (73).
Вопросы для контроля (75).
Упражнения 2.13-2.19 (75).
Глава 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ (77).
§10. Уравнения и системы уравнений (77).
1. Квадратные уравнения (77). 2. Уравнения с одним неизвестным (общий случай) (78). 3. Уравнения и системы уравнений с двумя неизвестными (81).
Вопросы для контроля (86).
Упражнения 3.1-3.6 (86).
§11. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и определители второго порядка (88).
1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (88). 2. Геометрическая иллюстрация решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными (92). 3. Определители второго порядка (94). 4. Свойства определителей второго порядка (96).
Вопросы для контроля (98).
Упражнения 3.7-3.18 (99).
§12. Определители третьего порядка и их свойства (100).
1. Матрицы и определители третьего порядка (100). 2. Свойства определителей третьего порядка (102).
Вопросы для контроля (104).
Упражнения 3.19-3.25 (104).
§13. Системы линейных уравнений со многими неизвестными (105).
1. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными (105). 2. Системы линейных уравнений с n неизвестными (111).
Вопросы для контроля (115).
Упражнения 3.26-3.32 (116).
§14. Неравенства и системы неравенств (117).
1. Неравенства с одним неизвестным (117). 2. Линейные неравенства. Неравенства с модулем (119). 3. Квадратные неравенства (121). 4. Рациональные неравенства (123). 5. Системы неравенств (124).
Вопросы для контроля (128).
Упражнения 3.33-3.38 (128).
§15. Понятие о задачах линейного программирования (129).
Упражнения 3.39-3.41 (132).
Глава 4. ФУНКЦИИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛЫ (134).
§16. Функции (134).
1. Понятие функции (134). 2. Функции и отображения (135). 3. Числовые функции (135). 4. Способы задания функции (135). 5. Функция, обратная к данной функции (137). 6. Четные и нечетные функции (139). 7. Периодические функции (140). 8. Монотонные функции (142).
Вопросы для контроля (143).
Упражнения 4.1-4.13 (144).
§17. Последовательности (146).
1. Числовые последовательности (146). 2. Монотонные последовательности (149). 3. Ограниченные и неограниченные последовательности (151).
Вопросы для контроля (153).
Упражнения 4.14-4.28 (154).
§18. Предел последовательности (156).
1. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности (156). 2. Геометрический смысл сходимости последовательности (159). 3. Необходимое условие существования предела последовательности (160). 4. Единственность предела последовательности (161). 5. Бесконечно малые последовательности. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях (161). 6. Теоремы о пределах последовательностей (164). 7. Бесконечно большие последовательности. Связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностями (167). 8. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности (169). 9. Понятие числового ряда (170). 10. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии (172).
Вопросы для контроля (174).
Упражнения 4.29-4.39 (174).
§19. Предел функции (176).
1. Предел функции в точке (176). 2. Теорема о единственности предела (178). 3. Теоремы о пределах (178). 4. Односторонние пределы (181). 5. О пределе функции при х -› ± оо. Бесконечный предел функции (182).
Вопросы для контроля (185).
Упражнения 4.40-4.47 (186).
§20. Непрерывные функции (187).
1. Понятие непрерывной функции (187). 2. Примеры (189). 3. О непрерывности функции на множестве (190). 4. Точки разрыва (191). 5. Свойства непрерывных функций (191).
Вопросы для контроля (194).
Упражнения 4.48-4.49 (194).
Глава 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ (196).
§21. Степени и логарифмы (196).
1. Арифметические корни (196). 2. Степень с рациональным показателем (198). 3. Степень с действительным показателем (199). 4. Логарифмы (201). 5. Основные свойства логарифмов (202). 6. Формула перехода от логарифмов по одному основанию к логарифмам по другому основанию (203).
Вопросы для контроля (204).
Упражнения 5.1-5.16 (205).
§22. Показательная, логарифмическая и степенная функции (208).
1. Показательная функция (208). 2. Логарифмическая функция (210). 3. Степенная функция (213).
Вопросы для контроля (215).
Упражнения 5.17-5.27 (215).
§23. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства (216).
1. Показательные уравнения (216). 2. Логарифмические уравнения (219). 3. Показательные и логарифмические неравенства (222).
Упражнения 5.28-5.36 (225).
§24. Тригонометрические функции числового аргумента (227).
1. Радианное измерение углов и дуг (227). 2. Синус, косинус, тангенс и котангенс действительного числа (230). 3. Знаки значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса (233). 4. Тригонометрические функции и их простейшие свойства (235).
Вопросы для контроля (238).
Упражнения 5.37-5.50 (238).
§25. Основные формулы тригонометрии, их следствия (239).
1. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов (239). 2. Формулы приведения (242). 3. Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов (244). 4. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность, и наоборот (247). 5. Преобразование выражений а sin а + b cos а (249).
Вопросы для контроля (249).
Упражнения 5.51-5.94 (250).
§26. Тригонометрические функции, их графики (255).
1. Непрерывность тригонометрических функций (255). 2. Свойства и графики функций у = sin х и у = cos х (256). 3. Свойства и графики функций у = tg х и у = ctg х (259). 4. График гармонического колебания (260).
Вопросы для контроля (263).
Упражнение 5.95 (263).
§27. Обратные тригонометрические функции (264).
1. Функция арксинус и ее график (264). 2. Функция арккосинус и ее график (265). 3. Функции арктангенс и арккотангенс и их графики (267).
Вопросы для контроля (270).
Упражнения 5.96-5.105 (270).
§28. Тригонометрические уравнения (271).
1. Простейшие тригонометрические уравнения (271). 2. Примеры решения тригонометрических уравнений (276).
Упражнения 5.106-5.116 (283).
Глава 6. ПРОИЗВОДНАЯ (286).
§29. Производная (286).
1. Задачи, приводящие к понятию производной (286). 2. Производная функции (289). 3. Вычисление производной на основе ее определения (291). 4. Непрерывность дифференцируемой функции (292).
Вопросы для контроля (294).
Упражнения 6.1-6.6 (294).
§30. Производная суммы, разности, произведения и частного функций (294).
1. Производная суммы и разности функций (294). 2. Производная произведения функций (295). 3. Производная частного двух функций (296).
Вопросы для контроля Упражнения 6.7-6.12 (297).
§31. Производная сложной и обратной функций (298).
1. Сложная функция (298). 2. Производная сложной 295 функции (299). 3. Производная обратной функции (300).
Вопросы для контроля (301).
Упражнения 6.13-6.15 (301).
§32. Производные некоторых элементарных функций 301 1. Пределы, связанные с числом е (301). 2. Производная показательной функции (302). 3. Производная логарифмической функции (304). 4. Производная степенной функции (305). 5. Производная синуса (307). 6. Производная косинуса (308). 7. Производная тангенса (308). 8. Производная котангенса (309). 9. Производная арксинуса (309). 10. Производная арккосинуса (310). 11. Производная арктангенса (311). 12. Производная арккотангенса (312). 13. Таблица производных (313). 14. Производные высших порядков (314).
Вопросы для контроля (315).
Упражнения 6.16-6.52 (315).
§33. Дифференциал функции (318).
1. Определение дифференциала функции (318). 2. Геометрический смысл дифференциала (319). 3. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям (320).
Вопросы для контроля (322).
Упражнения 6.53-6.55 (322).
Глава 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ (323).
§34. Касательная и нормаль к кривой (323).
1. Определение касательной и нормали к кривой (323). 2. Геометрический смысл производной (324). 3. Уравнения касательной и нормали к кривой (325).
Вопросы для контроля (328).
Упражнения 7.1-7.8 (328).
§35. Некоторые применения производной в физике (329).
1. Задача о теплоемкости тела (329). 2. Задача о скорости химической реакции (329). 3. Задача о линейной плотности стержня (330). 4. Механический смысл второй производной (ускорение) (331).
Вопросы для контроля (331).
Упражнения 7.9-7.19 (332).
§36. Приложение производной к исследованию возрастания и убывания функции (332).
1. Необходимые условия возрастания и убывания функции (332). 2. Теорема Лагранжа (333). 3. Достаточные условия возрастания и убывания функции (334). 4. Правило нахождения интервалов монотонности (335).
Вопросы для контроля (336).
Упражнение 7.20 (336).
§37. Исследование экстремумов функция (337).
1. О понятии экстремума функции (337). 2. Необходимое условие существования экстремума (338). 3. Достаточные условия существования экстремума (339). 4. Правила нахождения экстремумов функции (340).
Вопросы для контроля (342).
Упражнение 7.21 (342).
§38. Выпуклость графика функции (342).
1. О понятии выпуклости графика функции (342). 2. Достаточное условие выпуклости графика функции (344). 3. Точки перегиба (345). 4. Исследование квадратичной функции (347).
Вопросы для контроля (350).
Упражнения 7.22-7.23 (351).
§39. Построение графиков функций (351).
1. Асимптоты (351). 2. Примеры построения графиков функций (354).
Упражнения 7.24-7.25 (360).
§40. Решение задач на максимум и минимум (360).
Упражнения 7.26-7.40 (363).
Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (365).
§41. Неопределенный интеграл и его свойства (365).
1. Первообразная и неопределенный интеграл (365). 2. Основные свойства неопределенного интеграла (367). 3. Таблица неопределенных интегралов (368).
Вопросы для контроля (370).
§42. Методы интегрирования (370).
1. Метод непосредственного интегрирования (370). 2. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки) (373). 3. Интегрирование по частям (380).
Упражнения 8.1-8.21 (384).
Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (389).
§43. Площадь криволинейной трапеции (389).
Вопросы для контроля (393).
Упражнения 9.1-9.2 (393).
§44. Определенный интеграл (393).
1. Определение интеграла (393). 2. Пример неинтегрируемой функции (396). 3. Основные свойства определенных интегралов (396). 4. Следствия из основных свойств определенных интегралов (398). 5. Теорема о среднем (399). 6. Определенный интеграл с переменным верхним пределом (400).
Вопросы для контроля (402).
Упражнения 9.3-9.5 (402).
§45. Методы вычисления определенных интегралов (403).
1. Формула Ньютона - Лейбница (403). 2. Вычисление определенных интегралов методом подстановки (409). 3. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла (413).
Вопросы для контроля (415).
Упражнения 9.6-9.16 (415).
§46. Приближенные методы вычисления определенных интегралов (417).
1. Формула прямоугольников (417). 2. Формула трапеций (418).
Упражнения 9.17-9.23 (422).
Глава 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА (424).
§47. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла (424).
Упражнения 10.1-10.8 (428).
§48. Применение определенного интеграла при решении физических задач (429).
1. Задача о вычислении пути (429). 2. Задача о силе давления жидкости (431). 3. Работа переменной силы (433).
Упражнения 10.9-10.26 (436).
ОТВЕТЫ (437).
ИЗ ИЗДАНИЯ: Книга, является первой частью учебника «Алгебра и начала анализа», написанного в соответствии с действующей программой по математике для техникумов на базе неполной средней школы.
При подготовке третьего издания книга существенно переработана: упрощено изложение, приведена в порядок система упражнений, ряд обязательных тем из второй части перенесен в первую, а именно, неопределенный интеграл, определенный интеграл и его приложения.
2-е издание вышло в 1981 г.
Для учащихся техникумов на базе неполной средней школы. |
 |
