5.7 Определение и двойная жизнь

Устранение единичных терминов зависело от слияния «=» с некоторым количеством последующего текста. Это не означает, что в конце мы освобождаемся от «=» наряду с единичными терминами. Ведь, хотя единичные термины (не являющиеся переменными) устранены, «=» продолжает встречаться в окружении переменных. Как и все общие термины «=» остается в позиции предиката при переменных, и никак иначе. Действительно, сами формы «...y... и только y» и «(∃y)(...y... и только y)», служившие в § 5.6 для замещения непосредственных контекстов дескрипций, содержат «x = y» (будучи сформулированы согласно условию (1) из § 5.6). Опять же, от предложений единственности можно ожидать, что в результате нового разбора они обнаружат нужду в «=» в окружении переменных; то, что один и только один предмет является, например, Сократом, записывается как «(∃y)(y есть Сократ и только y)» или:

(1) «(∃y)(x)(x есть Сократ тогда и только тогда, когда x = y)».

Устранение единичных терминов, не являющихся переменными, сопровождалось значительным упрощением логической теории в ее применении к закрытию провалов истинностного значения. Но теперь может возникнуть опасение, что при этом происходит сравнимая по величине потеря простоты по другим пунктам. Логические законы, управляющие употреблением «=», автоматически применимы к «x есть Сократ» qua «x = Сократ», но prima facie не релевантны «x есть Сократ» qua «Fx»; не релевантны они также и «z = x + y» qua «Σzxy». Более того, затруднен вывод путем подстановки единичных терминов, не являющихся переменными, на место переменных универсальной квантификации. То, что имело бы вид:

(2) Если (z)(...z...), то ...Сократ...,

(3) Если (z)(...z...), то ...x + y...,

теперь имеет вид:

(4) Если (z)(...z...), то (∃z)(z есть Сократ и ...z...),

(5) Если (z)(...z...), то (∃z)(Σzxy и ...z...).

А это, кроме того, что неуклюже, еще и неправильно, разве что в случае принятия дополнительных экзистенциальных предпосылок «(∃z)(z есть Сократ)» и «(∃z)(Σzxy)».

То, что здесь кажется усложнением, в определенном смысле представляет собой благо. Постольку, поскольку единичные термины, не являющиеся переменными, принимаются в качестве таковых, логика квантификации должна каким-то образом допускать предложения (2) и (3); но как тогда исключить их аналог с термином «Пегас»? То, что было скрытой предпосылкой существования, становится явным, когда, устранив единичные термины, не являющиеся переменными, мы осуществляем переход от предложений (2) и (3) к предложениям (4) и (5).

Помимо непосредственности, никакие потери не поддерживаются. Может быть показано, что все, что демонстрировалось и выводилось из данных предпосылок при некритическом манипулировании термином «Сократ» как единичным термином, по-прежнему демонстрируемо и выводимо из тех же самых предпосылок с помощью дополнительной предпосылки единственности «(∃y)(y есть Сократ и только y)» или (1) при новом разборе «Сократ» как общего термина. Подобным образом все, что может быть сделано с «+», может быть по-прежнему сделано, в переводе, с помощью «Σ», если дана предпосылка единственности для «Σ»:

(6) (x)(x)(если x есть число и y есть число, то (∃z)(Σzxy и только z)).

В более общем виде, все, что могло бы быть сделано с «(| x)(...x...)», по-прежнему может быть сделано, в переводе, при наличии предпосылки «(∃y)(...y... и только y)». Эти поддерживающие предпосылки скорее заслуживают высокой оценки как раскрытие скрытых допущений, артикуляция неартикулированного, чем сожаления вследствие их неэкономичности.

Но здесь не возникает дополнительных усложнений. Конечно, предложения (4) и (5) более неуклюжи, чем предложения (2) и (3). Конечно, «(∃x)(x есть Сократ и x есть грек)» формы «(∃x)(Fx и Gx)» более неуклюже, чем «Сократ есть грек», понятое как предложение формы «Ga». Удобно иметь возможность обсуждать имена, так же как и дескрипции, как единичные термины, подставляя их на место переменных и предикативно дополняя их общими терминами. Действительно, при совершении перехода по примеру перехода от «+» к «Σ» поражает утрата легкости; мы приносим в жертву именно те действия, которые характерны для самой ходовой части математики. Недопущение размещения единичных терминов внутри единичных терминов, размещаемых внутри единичных терминов (и так без конца), в виде полинома, наряду с недопущением легкой подстановки комплексов на место переменных и равных им комплексов, катастрофически уменьшило бы силу математики, даже если это было бы осуществлено только на практике, а не в принципе. По счастью, правда, эта неясно вырисовывающаяся дилемма может быть решена.

Ведь привлекательной чертой канонических символик является то, что они не связывают переменные; мы можем колебаться между двумя символиками, оппортунистически радуясь их несовместимым преимуществам. То, что современные логики называют определениями, во многом представляют собой инструкции, предписывающие делать именно это. Таким образом, мы можем в конечном счете, теоретически оставаясь верными канонической символике, в которой нет других единичных терминов, кроме переменных, в то же самое время устанавливать в отношении этой символики краткую форму, предусматривающую употребление других единичных терминов. Посредством таких установлений мы можем даже вернуть к жизни предложения (2) и (3) в качестве работающих правил, показав, что то, что из них следует, по определению, есть просто краткая форма того, что могло бы быть в длинной форме получено из таких предпосылок, как (1) и (6). Все же, если наши проблемы — такого рода, что лучше отвечают принципу экономии в основаниях теории, чем принципу краткости парафраза и быстроты дедукции, мы по-прежнему вольны прямо выбирать кратчайшую каноническую символику.

Цель определений — позволить нам снова воспользоваться устраненной символикой или удобной аппроксимацией, обладая при этом ключом к тому, какой бы могла быть ее каноническая транскрипция. В своем существе соответствующие определения, таким образом, нам даны в самих трансформациях, которые уже демонстрировались с целью показать устранимость единичных терминов, не являющихся переменными. Такие определения, между прочим, обладают достоинством восстанавливать единичные термины во всей их гибкости, не оживляя при этом неприятность провалов истинностного значения. Определение для единичной дескрипции оказывается просто таким: пиши «y = (| x)(...x...)» и «(| x)(...x...) существует» как варианты записи «...y... и только y» и «(∃y)(...y... и только y)» и, возвращаясь теперь назад к рассуждениям из § 5.5, пиши «——(| x)(...x...)——» как сокращение для:

(7) (∃y)(y = (| x)(...x...) и ——y——).

(В этой экспозиции мы понимаем «——y——» как случайное открытое предложение, а «——(| x)(...x...)——» — как то же самое, но с единичной дескрипцией на месте «y».)

Трех частей приведенного выше определения достаточно, если применять их последовательно и итеративно, для восстановления «(| x)(...x...)» в каждой позиции, в которой он появляется и в которой может появиться свободная переменная. В действительности определение нуждается в некотором известном усилении20. Но довольно об этом; изучающие логику знают эту логику дескрипций, расселовскую в своем существе, а моей задачей было скорее философское прояснение ее роли.

Наряду с таким практическим возвращением к жизни дескрипций также возвращаются к ней и многие другие единичные термины, сведенные к дескрипциям в § 5.6, а именно термины алгебраического типа. Это — удобный способ также и для нового введения имен как единичных терминов: «Сократ» как единичный термин можно определить как «(| x)(x есть Сократ)», трактуя «Сократ» как общий термин. На практике определяемый единичный термин «Сократ» и определяющий общий термин «Сократ», несомненно, различались бы, например, путем написания этого слова не с заглавной «С», а с маленькой «с» или даже путем сохранения единичного термина в форме «(| x)(x есть Сократ)». Технически мы можем сохранить написание «Сократ» для обеих трактовок, так как в хорошо построенной символике позиции, доступные для общих и единичных терминов, взаимно исключают друг друга, чем предотвращается какая бы то ни было крайняя двусмысленность. Но особенно важно обратить внимание на бессмысленность определения единичного термина или общего термина как регулярного (the regular) аналога имени «Сократ» обыденного языка. При парафразе некоторых предложений с определенными целями единичный термин оказывается кстати; в других случаях лучше соответствует задаче общий термин. Вспомним опять, что парафраз не делает никакого утверждения синонимии. Что касается эпитета «имя», то он применим прежде всего и в основном к термину «Сократ» обыденного языка и — производным образом — к любой из его формализации; в случае наличия более характерной интенции мы можем высказать это так, как, например, в рамках временной конвенции, принятой в конце § 5.5.

Преимущества определения как метода одновременно съесть и продолжать иметь свой пирог живо иллюстрируют заключение в кавычки и сцепление. Заключение в кавычки, продуцирующее имена лингвистических форм путем пиктографического письма, имеет огромное практическое удобство видимости референции. Но оно имеет и недостаток для некоторых целей систематической теории, заключающийся в том, что имена, которые оно продуцирует, независимо от их длины не имеют логической структуры. Это поясняет главное достоинство написания или произнесения по буквам, которое выполняется совсем по-другому. Написание или произнесение по буквам, как бы длительно оно ни было, анализируется как повторение одной маленькой двухчастной алгебраической операции сцепления плюс небольшое количество имен букв. Написание или произнесение по буквам также обладает достоинством препятствовать нереференциальным появлениям терминов, порождаемых заключением в кавычки (ср. § 4.5); но это — случайный поверхностный эффект. В таком случае, в конце концов, можно устранить, в свою очередь, сцепление в пользу триадического относительного термина «С». Здесь преимуществом является теоретическая простота при устраненных сложных единичных терминах; а недостатком — неуклюжесть, необходимость пожертвовать алгебраической легкостью. Теперь, благодаря инструменту определения, мы можем радоваться каждой из этих выгод, не давая при этом предварительных клятв в отношении других. Теоретизируя в рамках теории «С», мы защищены в нашем знании, что удобства произнесения или написания по буквам и даже заключения в кавычки могут быть по желанию восстановлены согласно определению. Одно из утешений философии состоит в том, что выгода показа того, как расстаться с понятием, не зависит от расставания с ним.

20 Так, см. § 5.5.