Там, где целью канонической символики является экономия и ясность элементов, нам нужно только показать, как символику можно было бы применить к выполнению задач всех идиом, которым, как мы считаем, она адекватна; нам не обязательно к ней прибегать. Символические системы средней полноты могут быть менее пригодны к использованию, а различные их формы имеют различные преимущества при решении различных задач. Таким образом, успокоенные тем, что мы ни в коей мере не идем на компромисс со своей свободой, мы можем быть бескомпромиссны в наших редукциях.
Одну яркую редукцию мы уже рассмотрели в § 4.4: мы можем сохранить наши неопределенные единичные термины в позиции субъекта. Идея § 4.4 состояла в том, что это можно делать только тогда, когда есть угроза двусмысленности охвата; но теперь мы также можем настаивать на этом действии как на регулярном условии в узком смысле канонической грамматики. Мы даже можем еще немного стандартизировать способ появления неопределенных единичных терминов, настаивая особо на том, что их появление всегда сопровождается предикатом формы «есть объект x такой, что ...x...». Ведь это — именно та позиция, которую занимает неопределенный единичный термин, когда мы применяем процедуру «такой, что» из § 4.4, а затем делаем простое предложение, начинающееся с «такой, что», подлежащим с помощью префикса «объект» с тем, чтобы разместить переменные.
Мы также можем расстаться почти со всей категорией неопределенных единичных терминов. Начать с того, что нужда в различии между терминами «любой» и «каждый» или «всякий» уже устранена благодаря нашему использованию конструкции «такой, что» (ср. § 4.4). «Никакой» в его отношении к неопределенным единичным терминам «никакое стихотворение», «никто», «ничто»30* можно перефразировать с помощью термина «каждый» и отрицания. Существенные формы неопределенных единичных терминов сводятся, таким образом, к двум: «всякий F» и «некий F» (в смысле «некий определенный F»), где «F» замещает любой общий термин в форме существительного. Но в целях показательной экономии с этими двумя классами неопределенных единичных терминов, в свою очередь, можно расстаться ради того, чтобы иметь всего два единичных термина — «все» и «нечто». Ведь, как было замечено в предыдущем параграфе, «всякий F» и «некий F» нужны только в позициях «Всякий F есть объект x такой, что ...x...» и «Некий F есть объект x такой, что ...x...»; и, ясно, мы можем перефразировать это, в свою очередь, соответственно, как:
(1) Все есть объект x такой, что (если x есть F, то ...x...).
(2) Нечто есть объект x такой, что (x есть F и ...x...).
Так, все неопределенные единичные термины сводятся к двум:
«все» и «нечто», и даже эти два никогда не встречаются иначе, как
когда за ними следуют слова «есть объект x [или y, или и т.д.] такой,
что». Поэтому мы можем для удобства перевести слово «все» и эти
следующие за ним слова в краткую форму путем символизации; и то же
самое верно для «нечто». Обычные символики, служащие этим целям,
соответственно — «(x)» и «(x)», для удобства читаемые как «все x
таково, что» и «нечто, что x таково, что». Эти префиксы известны по
неочевидным, но прослеживаемым причинам как кванторы — универсальный
и экзистенциальный.
Возможна также некоторая дальнейшая экономия: нужен только один из
наших двух выживших единичных терминов — «все» и «нечто». Другими
словами, экзистенциальные кванторы могут быть перефразированы с
помощью универсальных, и наоборот, как хорошо известно: «(x)(...x...)»
принимает вид «не (x) не (...x...)», и наоборот.
Эта последняя редукция имеет небольшое значение. Сведение всех неопределенных единичных терминов к двум видам кванторов куда существеннее, так как оно концентрирует весь сбивающий с толку феномен неопределенных единичных терминов в двух примерах: «все» и «нечто». И еще более важной была ступень, уже достигнутая в § 4.4: четкое разграничение охватов неопределенных единичных терминов. Я объяснял идею квантификации поэтапно, выделив некоторые ее важные аспекты; но Фреге достиг всего сразу, вплоть до финальной редукции универсальных кванторов, в его работе ‘Begriffsschrift’ (1879) — тонкой книжке, которая, можно сказать, положила начало математической логике.
Неопределенные единичные термины надстраивались над общими терминами. Теперь они исчезли, оставив после себя квантификацию. Но остаются определенные единичные термины, также надстроенные над общими терминами, а именно единичные дескрипции и демонстративные единичные термины (§ 3.5). Теперь мы можем свести демонстративные единичные термины к единичным дескрипциям, рассматривая «это (this, that) яблоко» как «яблоко здесь (там)», ‘der hiesige (dortige) Apfel’. Это употребление указательных слов «здесь» и «там» в качестве общих терминов, атрибутивно присоединенных к термину «яблоко», зависит от указывания точно так же, как употребление слов «это» и «то»: не в меньшей и не в большей степени. В случае выражения «это (то) яблоко» вопрос о пространственно временной протяженности, который указывающий жест оставляет открытым, удобным образом решается с помощью общего термина «яблоко» (ср. § 3.5); но то же самое происходит в рамках общего термина «яблоко здесь (там)»; ведь он истинен только относительно того, относительно чего истинны оба его компонента.
Следующий вид определенного единичного термина, который, подобно единичной дескрипции, надстроен над общим термином, — имя класса. В нем за общим термином в форме существительного следует ‘-kind’31* или же общий термин имеет форму множественного числа и ему предшествует «класс. . . » (‘the class of the’). Другой вид определенного единичного термина — имя атрибута (ср. § 3.9), в котором за общим термином в форме прилагательного, возможно, следует ‘-ness’ или ‘-ity’32*, или же в глагольной форме его окончание изменяется инфинитивно или герундивно: «быть собакой», «(атрибут) бытия собакой», «быть человеком», «ошибаться», «печь пироги». Другой вид определенного единичного термина — имя отношения, формируемое сходным образом: «нахождение следом за» (‘nextness’), «превосходство», «давание».
Мы можем получить некоторую простоту структуры, а также ускорить последующие результаты, категоризируя следующим образом эти определенные единичные термины. Рассмотрим единичную дескрипцию ‘the F’. Общий термин в роли «F» может быть здесь простым или составным; в частности, он может иметь форму «объект x такой, что ...x...». Теперь мы можем произвольно настаивать на том, что такова его инвариантная форма, так как сам «F» может быть расширен по желанию до формы «объект x такой, что Fx». Канонической форма для единичной дескрипции, таким образом, становится:
(3) объект x такой, что ...x....
Подобным образом каноническими формами для абстракции класса (как она называется) и абстракции атрибута становятся:
(4) класс объектов x такой, что ...x...
(5) быть объектом x таким, что ...x...
Отношению можно придать форму, наподобие такой:
(6) быть объектами x и y такими, что ...x...y....
Следует согласиться с тем, что предложение (6) с его тандемом
переменных «x» и «y», распространяет идиому «такой, что» за те пределы, в
которых она до сих пор считалась применимой. Более того, предложения
(3) — (6), кажется, необоснованно раздувают первоначальную форму. Но
выгода такова: мы теперь можем сделать следующий шаг в понимании целых
сложных префиксов предложений (3) — (6) как унитарных операторов,
поглощающих «такой, что». Именно это мы сделали со сложными
префиксами предложений (1) и (2), когда рассматривали их как простые
кванторы «(x)» и «(x)».
Префиксы «объект x такой, что» и «класс объектов x таких, что» явно
фигурировали среди базисных операторов математической логики, начиная с
Фреге и Пеано, до настоящего времени, обычно в сжатом виде: «( x)» и «
».
Будем использовать в качестве префиксов в (5) и (6) просто сами
переменные в неизмененном виде, а затем заключать каждое отдельное
подчиненное предложение в скобки. Тогда предложения (3) — (6) приобретут
вид:
(7) ( x)(...x...),
(...x...), x[...x...], xy[...x...y...].
В последних двух формулах встречается символика абстракции для интенсионалов: монадические интенсионалы, или атрибуты, и диадические интенсионалы, или отношения. В таком же духе можно допустить, чтобы одни только скобки без префикса выражали абстракцию медадических (0-адических) интенсионалов или пропозиций; так «[Сократ смертен]» будет равнозначно словам «что Сократ смертен» (‘that Socrates is mortal’) или «бытие Сократа смертным» — в случаях, когда «[Сократ смертен]» рассматривается как указание на пропозицию. Заметим, что в согласии с современной философской практикой я использую термин «пропозиция» для обозначения не предложения, а абстрактного объекта, мыслимого как то, что обозначается простым предложением, начинающимся с «что» (‘that-clause’). Такой объект, например — что Сократ смертен — мыслится как относящийся к предложению «Сократ смертен» тем же способом, каким атрибут — например, быть собакой или печь пироги — относится к общему термину: «собака», «печет пироги». Я одним из последних стал бы воздерживаться от вопроса, какого типа объектами они могут быть, но этот вопрос относится к критическому рассмотрению, подходящему больше для следующей главы.
Четыре префикса в предложении (7), подобно кванторам, представляют собой связывающие переменные операторы (§ 4.3). Различие состоит лишь в том, что, тогда как кванторы присоединяются к предложениям для производства новых предложений, эти четыре новых оператора присоединяются к предложениям для производства единичных терминов. Предложение, к которому присоединен оператор, называется охватом (the scope) этого оператора. Охват квантора не является в полной мере охватом неопределенного единичного термина «все» или «нечто» в смысле § 4.4, последние поглощены квантором; ведь охват неопределенного единичного термина включен в сам термин. Охват квантора или другого связывающего переменную оператора — это, скорее, простое предложение, подчиненное конструкции «такой, что», которую поглощает оператор.
В действительности, наши операторы здесь до некоторой степени
избыточны. Оператор абстракции класса, на что намекает уже начальное
‘the’ (определенный артикль) его вербализации в предложении (4), можно
свести к оператору единичной дескрипции; ведь мы можем перефразировать
«(...x...)» как:
(8) ( y)(x)(x
y тогда и только тогда, когда
...x...)2,
где «» — сокращение для относительного термина «есть член...». Если
мы сохраняем тем не менее «
», мы делаем это в том же духе, в каком мы
сохраняем «(
x)», несмотря на сводимость последнего к универсальной
квантификации; а именно в качестве удобного сокращения.
Этот метод устранения абстракции класса, кстати, терпит неудачу вследствие интенсиональной абстракции. Мы не можем, по аналогии с (8), перефразировать «x(...x...)» как:
(9) ( y)(x)(x имеет y тогда и только тогда, когда ...x...).
То, что (8) оказывается успешной формой там, где (9) терпит неудачу,
происходит благодаря различию условий тождественности классов и
атрибутов. Поскольку классы с одними и теми же членами тождественны,
условие, следующее за «( y)» в (8), определяет у единственным образом. С
другой стороны, поскольку атрибуты вообще не полагаются тождественными
вследствие лишь того, что одни и те же вещи имеют их, условие, следующее
за «(
y)» в (9), в общем не может определять, какой атрибут у должен быть
исключен.
2 Эта формула нуждается в модификации для некоторых форм теории классов. См. мою работу “Mathematical Logic”, pp. 131 ff., 155—166, и “On Frege’s Way out”, pp. 153 ff.