Наша каноническая символика в главе 5 продолжала допускать указательные слова уже после того, как были устранены времена и единичные термины. Ее предложения не ограничивались вечными предложениями. Тем не менее вечным предложениям отдается предпочтение, и так было с того момента, когда люди научились писать. Постольку, поскольку некоторые произнесения предложения могут быть истинными, а другие — ложными, мы должны знать обстоятельства произнесения; и мы реже знаем такие обстоятельства в случае письма, чем в случае речи.
Письмо — неотъемлемая часть серьезной науки, если считать ее кумулятивной; и чем дольше предложение сохраняется в науке, тем больше тускнеют обстоятельства его произнесения. Более того, дух теоретической науки, даже независимо от требований письма, поощряет устойчивость истинностных значений. То, что истинно здесь и теперь, тем больше стремится быть истинным также там и тогда, чем яснее его принадлежность к предмету изысканий ученых. Хотя научные данные основываются на предложениях наблюдения, которые истинны только в рамках конкретного произнесения, проектируемые на основании этих данных предложения теории имеют тенденцию быть вечными предложениями.
Воодушевляющим нас следствием этой тенденции является упрощение логической теории. Законы логического вывода ссылаются на возобновляющиеся повторения предложений, признавая, что предложение, истинное в одном случае, будет истинным и в другом. Даже вывод «p» из «p и q» (где «p» и «q» обозначают предложения) — это случай такого рода. Любой план, не предполагающий таким образом устойчивость истинностных значений, был бы невосполнимо сложен.
Мы применяем логику к предложениям, чьи истинностные значения изменяются в зависимости от говорящего и времени произнесения. Мы оставляем временные и местоименные референции и даже смыслы двусмысленных слов нефиксированными лишь потому, что можно ожидать, что обстоятельства, ответственные за эти референции и смыслы в каждом конкретном случае произнесения, устанавливают их единообразно на всем пространстве аргумента. Иногда это ожидание обманывается и мы сталкиваемся с ошибкой эквивокации. Те, кто применяет логическую теорию, должны быть бдительны в отношении этой опасности и, если она угрожает, расширять предложение-нарушитель: не до вечного предложения, но достаточно значительно для того, чтобы отобразить любые различия, которые иначе проявят себя в превратностях аргумента39. Отношение вечных предложений к нашей логике подобно отношению серебряного доллара к нашей экономике: мы его по большей части не видим, но расчеты ведем с его помощью.
Главное отличие вечных предложений состоит в том, что они представляют собой хранилище самой истинности и, соответственно, всей науки. Постольку, поскольку о предложении можно сказать просто, что оно истинно, а не только — истинно теперь или в этих устах, это — вечное предложение. В тех случаях, когда наша цель — аскетичная каноническая форма системы мира, нам не следует останавливаться на отказе от пропозициональных установок и сослагательных условных предложений; мы должны также отказаться от указательных слов и других источников флуктуации истинностного значения.
«Поскольку» и подобные идиомы каузального типа уподобляются сослагательному условному предложению. Если оставить в стороне их и пропозициональные установки и отказаться от модальности и интенсиональной абстракции (§§ 6.2, 6.5), а кавычки свести к произнесению или написанию по буквам (§ 4.5), введя изъявительное условное предложение в строгие рамки (§ 6.7), то не останется никакой явной причины для включения одних предложений в другие иначе, чем посредством истинностных функций и квантификации. Насколько сильно такое сочетание, показали экстенсивно логические категоризации частей науки, особенно математики, осуществленные Фреге, Пеано и их последователями.
Если подходить к формированию канонической символики так аскетично и, кроме того, придерживаться формальных методов экономии из главы 5, то мы получим в точности следующие основные конструкции: предикация, универсальная квантификация (ср. § 5.2) и истинностные функции (сводимые к одной40). Окончательными компонентами предложений будут переменные и общие термины; они сочетаются в предикацию и дают атомарные открытые предложения. Таким образом, в качестве схемы систем мира мы имеем так хорошо разработанную современными логиками структуру — логику квантификации или исчисление предикатов.
Не то чтобы отвергнутые на этом пути идиомы полагались ненужными на рынке или в лаборатории. Не то чтобы указательные слова и сослагательные условные предложения полагались ненужными при обучении самим терминам — «растворимый», «Гринвич», «нашей эры» (‘A.D.’), «Полярный» — которым могут даваться канонические формулировки. Доктрина состоит лишь в том, что такую каноническую идиому можно абстрагировать, а затем следовать ей в высказываниях научной теории. Доктрина состоит в том, что если вообще можно выразить все черты реальности, заслуживающие наименования, то можно сделать это посредством идиомы такого аскетичного вида.
Эта доктрина соответствует духу философской доктрины категорий, за тем лишь исключением, что ее содержание относительно. Сама по себе она не устанавливает никаких ограничений словаря неанализируемых общих терминов, допустимых в науке. Но она ограничивает способы выведения сложных предикатов, сложных условий или открытых предложений из этих необусловленных компонентов. Это — доктрина, устанавливающая границы в отношении того, что можно сказать о предметах на основании (а) таких «первичных черт» или общих терминов, которые могут быть явно приняты исключительно на основании их заслуг, не относящихся к чисто релятивистским задачам данной доктрины, и (b) таких «производных черт», которые можно сформулировать в терминах первичных черт посредством одних только предикации, квантификации и истинностных функций. Она очерчивает круг того, что считать научно допустимой конструкцией, и утверждает, что все, что не может быть так сконструировано из данных терминов, следует либо наделить статусом еще одного нередуцируемого данного термина, либо избегать. Эта доктрина — философская по своей широте, как бы ее мотивация ни обусловливалась наукой.
Испытывая недостаток определенности в отношении совокупности допустимых неанализированных общих терминов, можно по-прежнему считать определяющими некоторые абсолютные философские категории таких терминов. Так же, испытывая недостаток определенности в отношении допустимых объектов или значений переменных квантификации, можно считать определяющими некоторые категории, предполагающие фундаментально различающиеся типы объектов: таково противопоставление физических объектов классам, а классов, возможно, разным другим, явно отличающимся видам предметов. Можно затем пойти дальше, декларируя, что термины, входящие в состав лишь некоторых категорий терминов, значимым образом предицируемы предметам определенных видов. Примером тому является теория типов, которую Рассел предложил на обсуждение как средство справиться с антиномиями наивной теории множеств. Кроме того, независимо от этого технического контекста, философы были озабочены декларированием скорее бессмысленности, чем тривиальной ложности, таких предикаций, как «Этот камень думает о Вене» (Карнап) и «Квадратичность пьет оттяжку» (Рассел). Здесь мы иногда становимся очевидцами просто спонтанного восстания против глупых предложений, а иногда — отдаленного проекта приведения осмысленных предложений к чему-то подобному эмпирическому формату. Но поскольку философам, которые возвели бы такие категориальные заборы, в общем не разрешено изгонять из языка всякую математическую ложность и любить абсурдности, я не вижу большой пользы в предпринимаемом ими частичном исключении; ведь формы, о которых идет речь, по-прежнему, если бы допускались, управлялись бы скорее как ложные (и ложные благодаря значению, если угодно), подобно самопротиворечивым формам. Терпимость несущественностей (don’t cares) (§ 5.6) — главный источник простоты теории; а в данном примере она дважды существенна, поскольку освобождает нас как от установления категорий, так и от почтения к ним.
Что касается технической мотивации в теории множеств, то хорошо известны альтернативные варианту Рассела варианты, не зависящие ни от каких лингвистических запретов; в самом деле, собственно саму теорию Рассела можно легко транскрибировать так, чтобы избежать указанных зависимостей41. В целом я нахожу, что подавляющее число обстоятельств говорит в пользу единой неразделенной вселенной значений связанных переменных и простой грамматики предикации, допускающей все общие термины на равных основаниях. Все же можно, если кому-то этого хочется, провести второстепенные различия как на основании методологических соображений, так и на основании соображений естественного вида; но мы можем считать их специальными различиями, характерными для конкретных наук и не отраженными в структуре нашей символики.
Ничего по-прежнему не было сказано о составе допустимого словаря неанализированных общих терминов. Но можно быть уверенным относительно частицы «=»: она непременно будет входить в этот состав, или в качестве неанализированного общего термина, или в составе сложного парафраза, по крайней мере если словарь неанализированных общих терминов конечный. Так, запишем «если Fx, то Fy», и наоборот, с каждым из абсолютных общих терминов на месте «F», а также, «(z)(если Fxz, то Fyz)» и «(z)(если Fzx, то Fzy)», и наоборот, с каждым из диадических относительных терминов на месте «F», и — то же самое для «(z)(w)(если Fxzw, то Fyzw)» и т.д. Конъюнкция всех этих формул совпадает по объему с «x = y», если любая формула, конструируемая из элементов данного словаря, совпадает с ней по объему; наоборот, мы можем без конфликта принять эту конъюнкцию как нашу версию тождества42. Делая так, мы навязываем определенное отождествление неразличимых43, но — только не строгое.
Так, назовем два объекта абсолютно различимыми (по своей символике), если некое открытое предложение с одной свободной переменной выполняется только одним из двух объектов, а относительно различимыми будем их называть, если некое открытое предложение с двумя свободными переменными выполняется этими двумя объектами в одном-единственном порядке. Описанная версия тождества называет тождественными лишь те объекты, которые неразличимы относительно. Она не называет тождественными все объекты, неразличимые абсолютно. Ведь могут существовать объекты x и y и относительный термин (скажем, «F»), такие, что Fxy, а не Fxx и не Fyy; и при этих обстоятельствах x и y не обязательно должны быть абсолютно различимыми, чтобы тем не менее не считаться тождественными, поскольку — не (z)(если Fxz, то Fyz).
Наблюдение, что тождество так неявно сопровождает любой конечный словарь общих терминов, соответствует тому, что изучалось в § 2.6, 3.3, 3.4, 3.8, где я подчеркивал релевантность тождества референциальной функции общих терминов. Оно также некоторым образом оправдывает тенденцию рассматривать «=» скорее, чем другие общие термины, как логическую константу.
Теперь вернемся к нашей канонической грамматике, сведенной к предикации, квантификации и истинностным функциям. Есть техническая причина таким образом определять, какие конструкции допустимы, даже если запас общих терминов оставлен открытым. Ведь разные законы логических трансформаций структуры предложения доказаны математической индукцией. Это значит: показано, что законы верны для простейших предложений, а также для предложений следующей степени сложности, чем те предложения, для которых они верны, — откуда выводится заключение, что они верны для всех предложений. Чтобы это утверждать, мы должны знать исчерпывающий перечень допустимых конструкций, но вместе с тем — лишь немногие не так повсеместно разделяемые черты доступных простых предложений. Когда конструкция предложений ограничена квантификацией и истинностными функциями, такой индукцией легко доказывается закон экстенсиональности (§ 4.6).
Другая причина определения конструкции отдельно от общих терминов состоит в том, что канонические формы часто желательны для разрешения путаницы и программирования дедуктивных техник там, где не мыслятся окончательные формы. Незавершенность полного курса отказов и редукций — не препятствие для применения логики квантификации; мы просто применяем ее в той степени, в какой углубился соответствующий анализ. Выжившие посторонние идиомы — указательные слова, интенсиональные абстракции или что бы то ни было — могут сохраняться в качестве компонентов больших целых выражений, пока воспринимаемых как неанализируемые общие термины.
Но можем ли мы по-прежнему не стремиться к открытию какого-либо
фундаментального множества общих терминов, на основании которого в
принципе можно было бы сформулировать все черты и состояния всего? Нет;
мы можем доказать, что открытость неизбежна в любом случае, когда
предложения теории включены в пространство теории в качестве объектов.
Так, пусть S1, S2,... будут предложениями, составленными посредством
символики теории , где «x» — единственная свободная переменная. Для
каждого объекта как значения переменной «x» каждое такое предложение
истинно или ложно относительно этого объекта; поэтому каждое из
них, будучи также объектом этого же пространства, истинно или
ложно относительно самого себя. Легко показать, что никакой общий
термин, определимый в
, не истинен относительно точно тех S1,
S2,..., которые ложны относительно самих себя. (Ведь если бы «F»
было таким термином, то «Fx» было бы истинно относительно себя
самого тогда и только тогда, когда оно ложно относительно себя
самого44.)
Такой термин можно добавить к
в качестве его нередуцируемого
дополнения.
Все же есть возможность вообще подвергнуть общие термины радикальному формальному сокращению. Если принятое пространство объектов включает в себя хотя бы скромный запас классов — на самом деле для этой цели не требуется классов с числом членов большим двух, — то можно показать, что любой словарь (конечный или бесконечный) общих терминов (абсолютных или относительных) редуцируем путем парафраза к единственному диадическому относительному термину45. Так, на каждом этапе дополнения открытого набора общих терминов мы можем заключить весь набор в единый диадический термин. В случае добавления новых терминов мы можем снова поступить подобным образом; но новый единственный диадический термин будет отличаться от старого тем, относительно каких пар объектов он истинен.
Сказав о предложенной теории, что ее конструкциями должны быть предикация, квантификация и истинностные функции, мы определили не что иное, как логику теории. Тогда остаются вопросы, касающиеся не только ее словаря общих терминов, но и ее пространства дискурса: диапазона значений ее переменных квантификации. Сама осмысленность квантификации, казалось бы, предполагает некое понятие о том, какие объекты считать значениями переменных. Однако отсутствие необходимости полной ясности в этом отношении зиждется на том факте, что истинность наших квантификации обычно зависит, пожалуй, лишь от особых обитателей этого пространства, допускающего свободную вариацию в других отношениях. Это очевидно в случае экзистенциальных квантификации. То, что это в значительной степени истинно также и для универсальных квантификации, становится ясно, когда мы осознаем, насколько обычна для них форма «(x)(если ...x..., то ——x——)»; здесь важны только те особые объекты, которые выполняют антецедент.
Но, если полная ясность в отношении совокупного пространства дискурса для науки не требуется, какие-то широкие нормативные и методологические соображения, относящиеся к этой теме, все же уместны. Оставшуюся главу я посвящу им.
39 Ср. мою работу: Methods of Logic, pp. xvi, 43.
40 Имеется в виду знакомая редукция Шеффлера. См., например, мою работу: Mathematical Logic, pp. 45 ff., или Methods of Logic, p. 11.
41 Результатом транскрипции такого рода является не то, что Рассел назвал типической двусмысленностью, а что-то подобное теории множеств Цермело. См. мою работу “Unification of Universes”.
42 Ср.: Hilbert and Bernays, pp. 381 f.
43 Показательные следствия этого для сочетания различных областей дискурса смотри в моей работе: From a Logical Point of View, pp. 70 ff., 117ff., 123.
44 Этот аргумент в принципе принадлежит Кантору. Форма, которую я ему придал, напоминает также парадокс Греллинга, а то, как я его употребляю, отсылает к Тарскому.
45 См. мою статью “Reduction to Diadic Predicate” и в ней ссылки на Кальмара и Крейга. Этот результат усиливает последние замечания по поводу тождества, зависящего от конечности числа общих терминов.