7.5 Геометрические объекты

Традиционно геометрия была теорией относительного положения в пространстве. Для Пуанкаре и других, на кого оказал влияние плюрализм неевклидовых геометрий, геометрии были скорее семейством неинтерпретированных теоретических форм, называемых геометриями только вследствие структурных сходств с исходной евклидовой геометрией положений в пространстве. Вопрос о природе объектов геометрий, понятых в таком смысле, не должен нас задерживать, поскольку он защищен от ответа. Но между тем геометрия также в каком-то, подобном традиционному, смысле остается служанкой, под каким угодно именем, естественной науки. Ее объекты производили бы впечатление точек, кривых, поверхностей и твердых тел, понятых как части действительного пространства, которое охватывает и пронизывает физический мир. Это — объекты, которые мы склонны допускать наряду с физическими объектами в качестве значений наших переменных квантификации, как в случае, когда мы говорим, что Бостон, Буффало и Детройт пересекаются большим кругом земли.

Объекты геометрии можно адекватно объяснить в некоторых целях тем способом, применение которого к идеальным объектам механики мы уже наблюдали; ведь мы можем полагать точки, кривые и геометрические поверхности идеально маленькими частицами, идеально тонкими проволочками и идеально тонкими листами. Это отношение достаточно хорошо соответствует чистым универсальным высказываниям геометрии, утверждающим лишь, что любые геометрические объекты, так-то и так-то взаимосвязанные, взаимосвязаны еще и так-то и так-то. Но это отношение плохо согласуется с экзистенциальными высказываниями геометрии, которые требуют, чтобы существовали точки, кривые, поверхности и твердые предметы.

Можем ли мы тогда придерживаться наивных взглядов? На этот случай у нас имеется дуалистическая теория пространственно-временной реальности, два вида объектов которой — физические и геометрические — проникают один в другой, не вызывая противоречий. Противоречий нет просто потому, что физические законы не распространяются на геометрические объекты.

Но если такой план терпим здесь, то почему мы не могли равным образом допустить в § 7.4 идеальные объекты механики в единой пространственно-временной вселенной наряду с полноценными физическими объектами, просто исключив их из сферы действия некоторых законов? В том ли только дело, что эти две категории интуитивно слишком сильно похожи, чтобы такое разделение законов выглядело естественным? Нет. Есть более существенная причина, почему точки массы и тому подобное менее привлекательны, чем объекты геометрии, в качестве дополнений к полноценным телам. Никак не были осмыслены их временные координаты и местоположение. Очевидно, если судить по тому, что о них сказано, точки массы и подобные идеальные объекты предполагаются существующими в определенного вида пространстве и времени, в нашем или в каком-то другом; но только где эти пространство и время? И если мы уловили их местонахождение, то следующая проблема — тождество: когда считать точки массы (или поверхности без трения и т.д.) чем-то одним, а когда — двумя? То, как механика говорит об идеальных объектах, что весьма важно, характеризуется тенденцией не озадачиваться такими вопросами. В этих обстоятельствах кроется важная причина скорее исключить идеальные объекты — скажем, путем Вейерштрасса, обозначенным в § 7.4, — чем сохранить их и пытаться решить проблемы положения в пространстве или тождества путем умножения искусственных средств. С другой стороны, геометрические объекты не вызывают таких явных проблем положения в пространстве или тождества; они сами представляют собой положения в пространстве.

Но готовы ли мы допустить абсолютные положения в пространстве и вместе с ними — абсолютное различие между покоем и движением? Не относительно ли, скорее, движение, настолько, что то, что считалось бы с одной точки зрения одним и тем же удвоенным положением в пространстве, с другой считалось бы двумя разными положениями в пространстве? Несомненно. Однако мы можем найти для этого релятивистского колебания место в теории, просто добавив измерение и говоря о положениях не в пространстве, а в пространстве и времени. Различные образцы точек абсолютно различны, независимо от относительного движения точки зрения.

Если движение относительно, то, очевидно, вопрос, имеет ли данная пространственно-временная область (или агрегат образцов точек) постоянные очертания во времени, или изменяются ли ее внутренние расстояния во времени, будет зависеть от относительного движения точки зрения; и точно так же будет зависим вопрос, являются ли очертания этой области сферическими или продолговатыми в некий момент времени. Но это значит только сказать, что очертания-в-некий-момент-времени зависят от систем координат; геометрические объекты, об очертаниях которых идет речь, остаются при этом абсолютными агрегатами образцов точек, как бы они ни были конкретизированы и каковы бы ни были их очертания.

Что лучше — оставить наши геометрические объекты в рамках трех измерений или не ограничиваться пространством и размещать их в пространстве и времени зависит от того, мудро ли признавать абсолютное различие между движением и покоем. Этот вопрос, в свою очередь, представляет собой вопрос о том, какая теория лучше всего систематизирует данные физики. Таким образом, мы можем справедливо сказать, что вопрос о природе геометрических объектов, подобно вопросу о природе элементарных частиц в физике, есть вопрос физической теории. Дано, что лабораторные данные лишь оказывают на нас воздействие в проведении геометризации, но не обусловливают ее; но подобным же образом они лишь оказывают на нас воздействие в нашем изобретении физической теории, но не обусловливают его. Пусть внешний облик и терминология не вводят нас в заблуждение видеть в геометрии нечто слишком отличающееся от физики.

На самом деле физическое теоретизирование Эйнштейна включало в себя, помимо выводов об относительности движения, также геометрические решения. Соображения всеобщей теоретической простоты физической теории подтолкнули его принять решение в пользу неевклидовой формы геометрии, хотя евклидова геометрия проще, если рассматривать ее отдельно. Далее, принимая такую неевклидову геометрию четырех измерений, наряду с релятивистской физикой, как буквальную истину (по сегодняшним меркам), можно рассматривать евклидову геометрию, наравне с физикой Ньютона (ср. § 7.4), как удобный миф, более прострой для решения некоторых задач, но символический в отношении высшей истины. Геометрические объекты евклидовой геометрии в таком случае приобретают, относительно «реальных» объектов неевклидовой «истинной» геометрии идеальных объектов, статус форм речи, предельных мифов, в принципе эксплицируемых путем парафраза наших предложений методом Вейерштрасса.

Остаются еще другие геометрии, другие в различных отношениях. Есть более абстрактные геометрии, кульминацией которых является топология, толкующая геометрические объекты с точки зрения их наименее специфичных подробностей. Эти геометрии не порождают новых онтических проблем, так как их объекты можно рассматривать как те же самые знакомые нам геометрические объекты; мы можем смотреть на эти геометрии как на такие, которые просто меньше говорят об этих объектах.

И еще остаются геометрии, не просто более абстрактные, чем, но действительно противоположные нашей «истинной» геометрии релятивистской физики. Считать ли нам их просто ложными? Или искать способы истолковать их слова так, чтобы сделать их в конце концов истинными или относительно наших старых геометрических объектов, или относительно чего-то еще? Нам не нужно делать ни того, ни другого; неинтерпретированная теоретическая форма может быть достойна изучения благодаря одной только своей структуре, не обязательно при этом, чтобы она говорила о чем-либо. Если ее связать с кванторами, взятыми из более широкого научного контекста, таким образом, чтобы этим предполагалось непритворно говорить об объектах того или иного вида, то тогда будет самое время спросить, что это за объекты.

До сих пор я защищал геометрические объекты не потому, что я думаю, что лучше их признать как часть того, что украшает нашу вселенную, но только для того, чтобы продемонстрировать релевантные соображения. Между тем, очевидно, сохраняется возражение против геометрических объектов, отталкивающееся от соображений экономии объектов. Посмотрим теперь, как можно обойтись без них.

Единственные предложения, которые нам нужно перефразировать, чтобы устранить референцию к геометрическим объектам, — это те, которые нельзя легко отбросить как тарабарщину неинтерпретированного исчисления: те, которые скорее вносят такой же вклад в дискурс о реальном мире вне геометрии, как предложения про экватор или про Бостон, Буффало и Детройт. Все предложения про экватор, далее, возможно, перефразируются в формы, в которых «экватор» стоит в непосредственном контексте «ближе к экватору, чем»; и эти четыре слова можно рассматривать как простой относительный термин или даже устранить, определив в терминах центробежной силы или среднего солнечного угла возвышения. Предложения, якобы предполагающие геометрический объект в качестве значения переменной квантификации, подобно предложениям про Бостон, Буффало и Детройт, представляют собой более сложные случаи.

Но референция к геометрическим объектам в таких случаях — всего лишь вспомогательное средство сказать то, что мы хотим, о движениях и пространственно-временных отношениях тел; и мы можем надеяться избежать упоминания геометрических объектов, вернувшись к использованию относительного термина расстояния (§ 7.3) или пространственно-временного интервала, понятого как термин, соотносящий физические тела и числа. Этот путь предполагает, конечно, допущение чисел в качестве объектов, наряду с телами, но освобождает нас от дополнительного допущения геометрических объектов. Элементы, таким образом, упрощаются. Практическое удобство геометрических объектов все же можно сохранить путем восстановления их в правах с помощью определения (ср. § 5.7), какие бы идиомы мы ни вывели из употребления путем анализа.

Устранение геометрических объектов можно систематизировать методом аналитической геометрии. Существенный минимум этой идеи для нашего пространства и времени четырех измерений состоит в следующем. Мы выбираем пять элементарных событий a, b, c, d, e, не совсем наугад. (От них требуется только, чтобы они маркировали скорее вершины полноценного «гипертела», имеющего четыре измерения, чем все лежали на плоскости или располагались в трех измерениях.) Мы можем считать, что эти пять событий заданы с помощью собственных имен или, что приведет к такому же результату (ср. § 5.5), общих терминов, в неравной степени истинных относительно каждого из пяти событий. Теперь каждая точка (или образец точки) в пространстве-времени будет неравным образом определен, как только мы определили его «расстояние» (или интервал: аналог расстояния в пространстве-времени четырех измерений) до каждого из пяти событий. Положение тела в пространстве-времени определяется, таким образом, расстоянием от каждого из пяти указанных элементарных событий до различных крайних точек этого тела. Атрибуцию (имеющих четыре измерения) форм телам можно перефразировать как атрибуцию соответствующих арифметических условий классам упорядоченных пятерок чисел, фиксирующих границы тела. Соответствующим образом выводится атрибуция коллинеарности и других геометрических отношений.

Мы можем предпринять, если хотим, следующий шаг номинальной реституции геометрических объектов, отождествляя точки (в действительности образцы точек) с соответствующими упорядоченными пятерками чисел и отождествляя остальные геометрические объекты с классами конституирующих их точек, понятых таким образом. Говорить ли о геометрических объектах как о том, чего мы избежали, или как о том — что перетолковали, неважно.

Система координат из пяти точек, описанная таким простым образом, на практике была бы непозволительно неуклюжей. Меньшее, в чем она не изящна, — это то, что она эксплуатирует числовые ресурсы. Например, расстояния от a и b, которые складываются с тем, что меньше, чем расстояние от a до b, никогда не были бы желательны в одной и той же пятерке чисел. Совместимые расстояния от пяти точек составляют вполне особый и непросто распознаваемый класс пятерок. Более строгая картезианская схема фиксирования каждой точки по ее расстоянию от каждой из по-разному взаимно перпендикулярных плоскостей — куда более сильная: она оперирует четверками чисел вместо пятерок, она не теряет ни одной четверки, и, что важнее всего, она соотносит важные геометрические условия с гораздо более простыми арифметическими условиями, чем те, с которыми мог бы соотнести их наш метод пяти точек. Конечно, хотелось бы учредить картезианскую систему координат. Но ее конструирование, при том что в качестве исходной точки даны только измерение расстояния и отобранные обозначаемые единицы, — это долгая история. Метод пяти точек легче описать с тем же теоретическим результатом, и его достаточно для передачи некоторого конкретного смысла того, что означает устранение геометрических объектов.

С той же целью может быть ценно теперь обратить внимание на кое-что более характерное: продраться сквозь весь аппарат точек отсчета системы и четверок или пятерок действительных чисел и рассмотреть, скорее, как некоторое весьма определенное геометрическое замечание о физических телах, понятое буквально, могло бы быть перефразировано в терминах расстояния без упоминания геометрических объектов. Возьмем с этой целью предложение, утверждающее, что есть линия, проходящая через тела A, B и C, причем B расположено посередине.

Простой парафраз, который не вполне исчерпывает задачу, таков: есть частицы x, y и z в A, B и C, соответственно, такие, что расстояние от x до z есть сумма расстояний от x до y и от y до z. Проблема этого парафраза заключается в том, что он не допускает пропусков между составляющими частицами (или элементарными событиями) тела. Он не допускает такой возможности, чтобы каждая линия, пересекающая A, B и C и пересекающая частицы как A, так и C, проходила между частицами B, не пересекая ни одной из них.

Есть способ справиться с этой трудностью, который мы можем легче всего понять, в принципе, если предположим, что мы работаем только в двух измерениях. Тогда A, B и C будут представлять собой собрания точек (dots) на странице; и мы хотим в результате сказать, что через A, B и C проходит геометрическая линия, не указывая, действительно, ни на какие объекты, а лишь на точки и их собрания, не соотнося их иначе, как через расстояние. Мы все еще полагаем, что среднее из этих трех собраний (если через них проходит линия) — B. В результате мы в таком случае хотим сказать, хотя и в рамках отведенных для этого средств, что есть точка x A, точка z C и точки y и y′ B (одинаковые или различные) такие, что геометрическая линия xz пересекает y′ или y или проходит между ними. Но xz пересекает y или y′ или проходит между ними тогда и только тогда, когда площадь треугольника xyz плюс площадь треугольника xy′z равняется площади треугольника xyy′ плюс площадь треугольника zyy′. Но площадь треугольника есть известная функция f длин его сторон. Отсюда следует соответствующая нашей задаче формула, в которой ‘dxy’ значит «расстояние от x до y».

Существуют точка x A, точка z C и точки y и y′ B такие, что f(dxy,dyz,dxz) + f(dxy′,dy′z, dxz) = f(dxy,dyy′,dxy′) + f(dzy,dyy′,dzy′).